ガンマ関数を無限小解析で、定義する問題

あらすじ（ちゃんと証明はしてない）

和を積に変換。oooo=0と同一視すると、

ｆ（ｘ）＝1+ xoo とおくと、ｆ（0)=1, f(a)+f(b)=2+(a+b)oo= 1+ f(a+b),

f(a)・f(b)= (1+aoo)(1+boo)=1+(a+b)oo= f(a+b),

ガンマ関数を定義できるだろうか？


ガンマ関数に定義に、対数関数を使わないでもっと単純な関数のこのｆ（ｘ）を

使って定義することを試みる。


ｇ（ｘ）＝（ｘ－１）・☆☆

がｆ（ｘ）の逆関数。


１・２・３・…・ｎ　

＝ｆ(g(1))・ｆ（ｇ（２））・…・ｆ（ｇ（n))

和の形になるから、

＝ｆ（ｇ（１) + g(2) + ・・・　＋g(n))


離散的な統合積△をつかうと

＝ｆ（ ｇ（n) △n )

＝ｆ（☆☆　(n-1)△n)

= (n-1)△ｎ　＋１


でも、これだと、なんか変だから、



ｆ（ｘ）＝（１＋oo)^xと定義して、
　
この逆関数を　ｇ（ｘ）として計算すべきだと思った。


後は、ｎの多項式として、自然に、実数変数に拡張。