続き（指数関数と対数関数）

【補題０３２１１】
　　
　　（１）　　　ｅ＾ｘｏｏ　＝　１＋　ｘｏｏ　＋１/２・ｘｘｏｏｏｏ

　　（２）　　　ｅ＾ｘｏｏ　＋　ｅ＾（－ｘｏｏ）　＝　２　＋　ｘｘｏｏｏｏ

　　（３）　　　　ｘ＾ｏｏ　　＋　　ｘ＾（－ｏｏ）　＝２　＋　（ｌｏｇ　ｘ）＾２・ｏｏｏｏ

　　（４）　　　　　ｘ＾ｏｏ　－　ｘ^（－ｏｏ）　＝　　２　（ｘ^ｏｏ　－１）　－（ｌｏｇ　ｘ）＾２・ｏｏｏｏ

　　（５）　　　　１/２・（ｌｏｇ　ｘ）＾２・ｏｏｏｏ　＝　（ｘ＾ｏｏ　－１）　－　１/２・（ｘ＾ｏｏ　－　ｘ＾（－ｏｏ））

証明

（３）の証明で　ｅ＾（ｌｏｇ　ｘ）　＝ｘ　を仮定してしまっている。

しかしながら、ｌｏｇ（ｅ＾ｘ）　＝　ｘ　は、すでに証明しているので、（３）ならば（２）が成り立つ。

もしも（３）が成り立たないと仮定すると、（２）も成り立たなくなってしまうので、矛盾。

だから、（３）が成り立つ。

その他の証明は、省略。


【定義　３２１２】


　　ｅ＾ｘ＝　（１＋　ｘｏｏ　＋　１/２・ｘｘｏｏｏｏ）＾☆☆

　　ｌｏｇ　ｘ　＝　１/２・（ｘ^ｏｏ　－　ｘ＾（－ｏｏ））・☆☆


【補題　０３２１３】
　　
　（１）　ｅ＾（ｌｏｇ　ｘ）　＝　ｘ

　（２）　ｌｏｇ（ｅ＾ｘ）　＝　ｘ

（１）の証明

　　ｅ＾（ｌｏｇ　ｘ）　＝（１＋　（ｌｏｇ　ｘ）ｏ　＋　１/２・（ｌｏｇ　ｘ）＾２・ｏｏｏｏ　）＾☆☆

補題０３２１１の（５）を使うと

　　　＝｛１＋　１/２・（ｘ＾ｏｏ　－　ｘ＾（－ｏｏ））・☆　＋　（ｘ^ｏｏ　－１）　－　１／２・（ｘ^ｏｏ　－ｘ＾（－ｏｏ））｝＾☆☆

　　　＝ｘ＾ｏｏ☆☆
　　
　　　＝ｘ

（１）の証明終わり
　　

（２）の証明

　　ｌｏｇ（ｅ＾ｘ）　＝　１/２・（（ｅ＾ｘ）＾ｏｏ　－　（ｅ＾ｘ）＾（－ｏｏ））・☆☆

　　　　　　　　＝　１/２・２ｘｏｏ・☆☆

　　　　　　　　＝　ｘ

（２）の証明終わり