定義９１７（関数Ｋを実数変数化によって定義する。）

定義９１５を定義９１７によって修正する必要がある。

Ｎ（ａ－ｐｏ：ａ－ｐｏ，１－ｐｏ）とＮ（ａ－ｐｏ，ａ－ｐｏ：１－ｐｏ）



をどう定義すべきか考える。

Ｎ（ｎ：ｎ）＝Ｎ（ｎ，ｎ）＋Ｎ（ｎ－１，ｎ－１）

つまりこれは

Ｆｎ（２）＝Ｆｎ（１，１）＋Ｆ＿ｎ－１（１，１）

で

このとき

Ｆｎ（２，１）＝Ｆｎ（１，１，１）＋Ｆ＿ｎ－１（１，１，１）

と１を付け加えて成り立つ定理があったと思う。

Ｎ（ｎ：ｎ，ｎ）＝Ｎ（ｎ，ｎ，ｎ）＋Ｎ（ｎ－１，ｎ－１，ｎ－１）

となる。

それを、一般化すると

Ｎ（ａ－ｐｏ：ａ－ｐｏ，ａ－ｐｏ）＝Ｎ（ａ－ｐｏ，ａ－ｐｏ，ａ－ｐｏ）＋Ｎ（ａ－１－ｐｏ，ａ－１－ｐｏ，ａ－１－ｐｏ）

となって欲しいから。

ａ＝２のときでも成り立って欲しい。

Ｎ（２－ｐｏ：２－ｐｏ，２－ｐｏ）＝Ｎ（２－ｐｏ，２－ｐｏ，２－ｐｏ）＋Ｎ（１－ｐｏ，１－ｐｏ，１－ｐｏ）

計算すると

＝（２－ｐｏ　＋　２）　Ｃ　３　＋　（１－ｐｏ＋２）　Ｃ　３

＝（２－ｐｏ）（３－ｐｏ）（４－ｐｏ）／６＋（１－ｐｏ）（２－ｐｏ）（３－ｐｏ）／６

＝（２－ｐｏ）（３－ｐｏ）（５－２ｐｏ）／６

＝（１－ｐｏ／３）（１－ｐｏ／２）（５－２ｐｏ）


「Ｎ（２－ｐｏ：２－ｐｏ，２－ｐｏ）をＮ（ｎ：ｎ，ｎ）の実数変数化として定義すべき」

そうするとＮ（ｎ：ｎ，ｎ）＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６だから

Ｎ（２－ｐｏ：２－ｐｏ，２－ｐｏ）

＝（２－ｐｏ）（３－ｐｏ）（５－２ｐｏ）／６

＝（１－ｐｏ／２）（１－ｐｏ／３）（５－２ｐｏ）

でぴったり一致。


ややこしくなるから、関数Ｎの新しい定義を関数Ｋとして

次のように定める。ただし、この定義では、Ｋ（ａ－ｐｏ，ｂ－ｑｏ）とかは

ｐ＝ｑではないので、定義できない。

定義９１５と定義９１７は、すこしずれているようなので、

定義９１７によって、定義９１５を検討することにする。



結論

［定義９１７］

自然数ｎの多項式の実変数化で関数Ｋを定義する。

ｎを任意の自然数とする。

Ｋ（ｎ：・・・：ｎ、ｎ：・・・：ｎ，ｎ：・・・：ｎ）＝ｆ（ｎ）のとき

上の式と同じ形の

Ｋ（ａ－ｐｏ：・・・：ａ－ｐｏ，ａ－ｐｏ：・・・：ａ－ｐｏ，ａ－ｐｏ：・・・：ａ－ｐｏ）

を多項式ｆ（ｎ）を普通に拡張したｆ（ａ－ｐｏ）で定義する。

ｎが、部分的にｎ＋１，でもｎ＋２でも、ｎ＋自然数、または、ｎ－自然数なら

ｎの多項式となるので、同様に定義できる。



そうすると

Ｋ（ａ＋ｎ，ｎ）も同様に、ｎの多項式と見て

Ｋ（ａ＋ｂ－ｐｏ，ｂ－ｐｏ）が自然に定義できる。

ただし、ａは、自然数。



更に

課題９１８として

Ｋ（ａ＋ｎ－ｐｏ、ｎ－ｑｏ）のようにｐとｑが異なる場合は、

どう定義すべきかという問題が残る。